Stanovení zeměpisné polohy modifikovanou metodou pravého poledne

T. JEŘÁBKOVÁ, J. VOŠMERA

1 Úvod

Ztratili jste se někdy v lese? Úplná dezorientace, žádné jídlo, žádná voda . . . Baterky ve vaší GPSce hlásí “low battery”. Stav totálního zoufalství.
Ač se tato situace muže zdát bezvýchodná, tak pro vás máme řešení, které nekončí ukrutnou a bolestivou smrtí. Potřebujete jen lepší sextant, přesné hodinky, notebook s příslušným softwarem, místo, ze kterého bude Slunce pozorovatelné celý den, krabičku od sardinek, vyjetý motorový olej (popř. rtuť), jeden den na měření a pár hodin na zpracování. Pokud budete postupovat svědomitě dle dalších kapitol, jistě brzy naleznete cestu z lesa ven. Hodně štěstí, jak při bloudění, tak i při čtení našeho článku.

2 Teoretické odvození fitovací křivky

K určení naší polohy jsme použili upravenou metodu pravého poledne, při které se měří výška Slunce nad obzorem v okolí poledne a získaná data se následně fitují přibližnou funkcí (parabolou). Z fitovacích parametrů pak můžeme jednoduše určit zeměpisnou šířku φ a zeměpisnou délku λ (zde je postup trochu složitější - viz dále). Naše modifikace pak spočívá v tom, že jsme měřili po celý den a data potom fitovali přesnou závislostí, jejímž odvozením se budeme zabývat v této části - od toho jsme si slibovali daleko přesnější výsledky.

V prvním přiblížení nejprve nebudeme uvažovat pohyb Slunce po ekliptice - budeme předpokládat konstantnost jeho rovníkových souřadnic druhého druhu (deklinace δ a rektascenze α) během dne. Dále využijeme rovníkových souřadnic prvního druhu - deklinace δ a hodinový úhel t - ten v případě Slunce reprezentuje pravý sluneční čas. Je zřejmé, že nalezení závislosti výšky Slunce nad obzorem na čase (pravém slunečním) je totožné s problémem nalezení transformace rovníkových souřadnic prvního druhu Q1 na obzorníkové H definované pomocí azimutu A a výšky h. Zde se nabízí dva vhodné způsoby postupu: buď pomocí sférických trojúhelníků anebo (elegantněji) pomocí matic rotace, který zde podrobněji rozvedeme. Budeme-li uvažovat kartézskou soustavu pravoúhlých souřadnic x₁, x₂, x₃, můžeme zapsat matice rotace okolo jednotlivých os o Eulerovy úhly ε₁, ε₂, ε₃, jako:

Necháme-li nyní souřadnicovou soustavu r rotovat kolem osy x_i, dostaneme nové souřadnice r’, pro které platí:

Takto samozřejmě můžeme popsat libovolnou rotaci v prostoru. Nás však bude zajímat případ transformace Q1→H. Pro tento účel definujme souřadnice r_Q1 resp. r_H jako:

Je zřejmé, že bude platit

kde φ jsme označili zeměpisnou šířku pozorovatele. Dosadíme-li do (6) vztahy (5) a (2), dostaneme po jednoduchém roznásobení následující transformaci:

z níž nás zajímá pouze poslední rovnice, která přímo vyjadřuje závislost h(t):

Nyní se však ještě musíme vypořádat se skutečností, že rovníkové souřadnice 2. druhu Slunce se s časem mění v důsledku ročního pohybu Slunce po ekliptice. Tyto souřadnice se budeme snažit vyjádřit v závislosti na pásmovém čase τ, který budeme při měření zaznamenávat. Změnu souřadnic charakterizujeme úhlovou rychlostí pohybu Slunce po ekliptice ω_v, kterou budeme předpokládat konstantní po dobu měření. Její přibližný výpočet je natolik triviální, že ho zde nebudeme nijak rozvádět. Nejjednodušší je vyjádření závislosti δ(τ) (využijeme příslušného sférického trojúhelníka):

kde ε jsme označili sklon světového rovníku k ekliptice, Δδ = δ - δ₀, Δτ = τ - τ₀. Předpokládáme-li pak znalost deklinace δ₀ v okamžiku začátku pozorování τ₀, není již problém vyjádřit funkci δ(τ). Nyní přikročíme k závislosti t(τ). Zde nejdřív uvedeme malou poznámku k různým druhům časů používaných v astronomii. Jednak máme tzv. pravý sluneční čas T_v, který je definován jako hodinový úhel pravého Slunce. Jelikož se však rektascenze pravého Slunce mění v průběhu roku nerovnoměrně, plyne tento čas také nerovnoměrně. Proto se zavádí střední sluneční čas T_m, jenž je definován jako hodinový úhel tzv. středního Slunce, což je bod, který se pohybuje rovnoměrně po světovém rovníku východním směrem. Rozdíl těchto dvou časů T_v - T_m = E_T pak nazýváme časová rovnice. Teď tedy konečně popišme postup odvození funkce t(τ). Je zřejmé, že ze všeho nejdříve musíme provést korekci na místní čas, která souvisí se zeměpisnou délkou místa, odkud pozorujeme. Tak dostaneme střední sluneční čas. Pravý sluneční čas a tedy i hodinový úhel pravého Slunce pak dostaneme pouhým přičtením časové rovnice (pro okamžik začátku pozorování - viz dále, nesmíme také samozřejmě zapomenout na to, že čas je dán v hodinách a hodinový úhel ve stupních - násobíme 15). Zatím tedy můžeme psát:

kde všechny zmiňované korekce jsme zahrnuli do parametru C = -E_T(τ) - λ. Parametr λ potom společně s φ použijeme při fitování. Pro určení zeměpisné délky λ však v této práci používáme i jinou metodu - hodnoty získané oběma metodami (a jejich přesnosti) na závěr srovnáme. Nyní se však ještě soustřeďme na přesnější vyjádření závislosti t(τ) - dosud jsme totiž neuvažovali změnu časové rovnice po dobu pozorování (související se změnou rektascenze pravého Slunce). Označíme-li čas na začátku pozorování τ₀ a časovou rovnici v tomto okamžiku E_T0 (tu známe), bude platit následující závislost:

kde ω_m = 360/T_z jsme označili úhlovou rychlost pohybu středního Slunce po světovém rovníku (T_z je perioda oběhu Země kolem Slunce). První člen v závorce v rovnici (11) pak představuje průmět úhlové rychlosti do směru rovnoběžného s rovníkem (do směru opačného, než roste hodinový úhel) - využili jsme zde stejného sférického trojúhelníku jako při odvození vztahu (9).
Dosazením závislostí t(τ) a δ(τ) do vztahu (8) získáme hledanou funkci h(τ), podle které budeme fitovat naměřená data.

Samozřejmě existuje celá řada dalších efektů, které bychom mohli uvažovat. Všimněme si alespoň atmosférické refrakce - tu však do fitovací křivky započítávat nebudeme, místo toho ji odečteme přímo od získaných dat (viz 4 - Zpracování naměřených dat). Dále by měl být také započítán vliv tížnicové odchylky (úhel sevřený mezi normálou ke geoidu a referenčnímu elipsoidu v daném bodě), protože zeměpisné souřadnice jsou vztaženy k danému referenčnímu elipsoidu, kdežto měření bylo vykonáno s ohledem ke geoidu (hladina umělého horizontu - viz dále - zaujímá tvar ekvipotenciály). Její hodnotu se však nepodařilo pro dané místo zjistit.

3 Postup měření

Při našem měření využijeme metodu měření výšky Slunce nad obzorem pomocí tzv. umělého horizontu - jedná se o hladinu libovolné kapaliny. V samotném měření potom budeme zjišťovat úhlovou vzdálenost pravého Slunce a jeho odrazu v hladině umělého horizontu. Výška Slunce nad obzorem potom bude rovna polovině tohoto úhlu. Důvodem, proč neměříme výšku Slunce přímo, je skutečnost, že v místě měření (obecně ve vnitrozemí) většinou nemáme přímý výhled na geometrický horizont. Kdybychom měřili např. na moři, žádný umělý horizont by samozřejmě nebyl potřeba. Použitý umělý horizont byl vyroben z již zmiňovaných ingrediencí: krabičky od sardinek a vyjetého motorového oleje (krabička byla navíc opatřena krytem, který sloužil jako ochrana proti větru).

Nyní k samotnému měření: Použili jsme sextant Davis Mark 15, který umožňuje odečítat úhly s přesností 0.2′. Jelikož jsme chtěli dosáhnout co nejpřesnějšího výsledku, měřili jsme polohu Slunce v co největším časovém rozmezí a v co nejmenších časových intervalech mezi jednotlivými měřeními. Každých deset minut jsme změřili přesnou polohu Slunce na obloze a zaznamenali jsme si čas, ve který se Slunce v určené poloze nacházelo. Každou půlhodinu jsme také změřili hodnotu chyby sextantu (IE - index error) a mezi intervaly jsme dopočítali její hodnotu lineárním trendem.

4 Zpracování naměřených dat

4.1 Korekce dat

Naměřená data jsme opravili o IE, zapisovali do počítače a automaticky dělili dvěma (hodnota naměřená sextantem je dvojnásobkem výšky Slunce nad umělým horizontem). Po celodenním měřením jsme získali poměrně dobře vypadající závislost.

Dále nám data ovlivňuje refrakce. Jak jste si jistě všimli, tak v teoretické křivce refrakce započítána není, jednodušší je naměřená data o hodnotu refrakce opravit. Refrakce závisí na výšce objektu nad obzorem a pro každou polohu objektu bude jiná.
Přibližná hodnota refrakce (pro naše měření dostačující) je určena vztahem:

kde h je naměřená hodnota (zadáváme ve stupních a hodnotu refrakce dostaneme přímo v úhlových minutách).
Pro výšku opravenou o refrakci tedy platí h’ = h - R.

4.2 Zeměpisná šířka

K určení zeměpisné šířky nám poslouží program gnuplot. Naměřenými daty proložíme teoreticky odvozenou křivku a program dopočítá hodnotu parametru a tedy i zeměpisnou šířku, kterou jsme chtěli zjistit. Měli bychom spatřit graf podobný následujícímu:

hodnoty fitu (se započítanou refrakcí):

Zajímavý je určitě také následující graf demonstrující vliv refrakce na naměřená data (zelené křížky ležící mírně nad křivkou reprezentují data bez odečtené refrakce, modré křížky jsou pak opravená data):

Hodnoty fitu (bez odečtené refrakce):

Srovnáme-li tyto výsledky s předchozími, vidíme, že se od sebe liší mimo rámec svých chyb - vliv refrakce na měření proto není zanedbatelný.

4.3 Zeměpisná délka

S určením zeměpisné délky to bude o něco obtížnější. Vlivem oběhu Země kolem Slunce se deklinace Slunce s časem mění. Pokud bychom tento pohyb zanedbali, tak by Slunce kulminovalo přímo nad místním meridiánem a výpočet zeměpisné délky bychom provedli snadno pomocí vztahu λ = 15(GN - UT _ln), kde UT_ln je okamžik pravého poledne a GN je čas pravého poledne na nultém poledníku. Kvůli pohybu v deklinaci však Slunce prochází místním meridiánem s předstihem před kulminací. Náš přibližný výpočet bude tedy:

Kde UT_tranzit je čas při průchodu meridiánem, který určíme tak, že si na proložené funkci určíme dva časové okamžiky se stejnou výškou Slunce nad obzorem.

kde T₁ a T₂ jsou právě zvolené časy (t zde již nevystupuje ve významu hodinového úhlu).

Δδ = δ₂ - δ₁, φ je zeměpisná šířka určená v předchozí části. Dále spočteme opravenou hodnotu druhého času T₂:

pro okamžik průchodu meridiánem dostáváme vztah:

Pro účely zpracování dat byl sestaven jednoduchý program provádějící výše popsaný algoritmus pro různé dvojice časů - jelikož však vstupní data byla závislá na provedeném fitu, chybu měření ponecháváme stejnou. Výsledná hodnota zem. šířky touto metodou potom je po zaokrouhlení φ = (16.00 ± 0.02)°, což je shodné s výsledkem, který jsme získali předchozí metodou. Pro porovnání ještě uvedeme souřadnice našeho stanoviště na úpické hvězdárně: φ = 50.50682°, λ = 16.01086° - ihned vidíme, že v rámci chyby jsme naši polohu určili správně (s chybou přibližně ± 1 km).

5 Závěr

Buďme realisté, je zřejmé, že zmáčknutím jednoho tlačítka na obyčejné GPSce určíte zeměpisné souřadnice během chvilky (přeci jen celodenní měření není asi ideální představa jak trávit neděli . . .) a že se naše přesnost měření nevyrovná ani té nejlevnější z nich. Prostě je to tak.
Nicméně naším experimentem jsme ověřili, že naše teorie funguje v praxi (což se nestane vždy). Zjistili jsme, že zanedbat refrakci, není vždy nejlepší nápad, sáhli jsme si až na hranici přesnosti měření sextantu. A co víc, zjistili jsme, jak byl život, bez nynější techniky komplikovaný. Astronavigaci zdar a klobouk dolu před námořníky bez autopilota.

Reference

• Brož, M.:
  Astronomický kurz (5) — Otočná mapa oblohy, Povětroň 3/2007 (s. 4-13), ASHK, 2007
• Machotka R., Podstavek J., Vondrák J.:
  ASTRONOMICKÁ REFRAKCE - TEORIE A PRAXE,
  FS VUT, Brno,
  2003
• Prosecký, T.:
  Státnice z astronomie astrofyziky v kostce,
  MFF UK Praha,
  2007
• Scheirich, P.:
  Základy astronavigace pro začátečníky, 2009
• Umland, H.:
  A Short Guide to Celestial Navigation, 2006

PDF verze

Teploty a vítr na Expedici

Měřeno amatérsky na stěžni u Sajriho stanu.

Astronavigace III

Snad již finální výsledky našich astronavigačních pokusů (stanovení zeměpisné polohy měřením výšky Slunce, případně dalších objektů, s použitím metody interceptu.

Astronavigace pomocí Slunce

Astronavigace pomocí Měsíce a hvězd

Psycho

Přesně tak by se dala nazvat anabáze vedoucí k výsledku tohoto pokusného fotometrického experimentu.

Pravděpodobně poprvé v historii expedice se CCD skupina rozhodla vyzkušet si fotometrii planetky. Výběr byl značně omezený. Muselo se jednat o planetku co možná nejvýš nad obzorem, planetku dostatečně jasnou, planetku s co nejkratší periodou změny jasnosti, ovšem s co největším jejím rozsahem. A tak se po zvážení výše uvedených kritérií výběr zúžil pouze na jediného kandidáta s příhodným názvem Psyche. A jak příhodným!

Fotilo se pomocí Mertze a CCD, jehož zorné pole je pouhých 15′x 10′. Právě zorné pole se stává velikým problémem při nalézání daného objektu. Po dvou hodinách strastiplného hledání jsme konečně v zorném poli uviděli “hvězdičku” přibližně deváté magnitudy. Čas ubíhal, a tak umořeni předlouhým pročesáváním oblohy jsme bez jakékoli kontroly, zda se jedná o naši planetku, začali kolem 22. hodiny UT fotit neznámý objekt. Celou tu dobu jsme se strachovali, že snad fotíme jen náhodnou obyčejnou hvězdu.

Což, uvidíme. Hvězdu jsme fotili čtyři hodiny po 120s expozicích. Tak dlouhou expozici jsme byli nuceni zvolit, neboť se v okolí nenacházela žádná výrazná stálice, obraz bylo tedy třeba dostatečně nasytit. Bohužel, montáž takovou dlouhou expozici neunesla a z hvězd se nám téměř na polovině snímcích staly komety, mnohdy dokonce dvojhvězdy. Fotili jsme jen cca 15° nad obzorem, kde jsou data hodně zašumělá vlivem atmosféry. A teď se pokuste o fotometrii!

Zpracovávali jsme pomocí munipacku, softwaru nejen na fotometrii od Filipa Hrocha. Díky čmouhám místo hvězd jsme se rozhodli, i přes zanesení značné chyby do výsledků, použít velkou clonku s poloměrem 30 pixelů. Zorné pole se stalo zádrhelem i při samotném zpracování. Při matchování snímků (při dlouhodobém focení montáž neudrží obraz na stejném místě, a tak je třeba při zpracování ztotožnit snímky na stejné souřadnice) munipack potřebuje více hvězd, než mu naše obrázky poskytly. Po pár neuspěšných pokusech o vytřídění správných dat jsme raději čísla vyseparovali ručně.

Při pohledu na výslednou křivku, OMG, člověku poskočilo srdce radostí. To, co nám vyšlo, mělo skutečně dvě maxima a dvě minima, přesně tak, jak to planetky za svou jednu periodu mají. Pro srovnání jsme našli fotometrickou křivku Psýché (převzato ze stránek http://www.rni.helsinki.fi/~mjk/IcarPIII.pdf ). Byla pravděpodobně pořízená při jiném úhlu pohledu na planetku, proto nehledejte rozdíly, jde jen o názornost.

Psycho byl prostě název, který na naši práci padl jak ulitý. Až poté jsem si našla, co vlastně Psýché znamenala pro staré Řeky. Psýché, královská dcera, která byla tak krásná, že lidé počali přinášet oběti jí a zanedbávali i samotnou bohyni Afrodítu. Data jsou nepěkně zašumělá, rozptyl veliký, není zachycená kompletní perioda, ale i přes to všechno je pro mě náš výsledek tou nejkrásnější křivkou, jíž jsme obětovali pot i spoustu nadávek, za odměnu pak získali nenahraditelné zkušenosti a radost. Příští rok budeme úspěšnější! Veliký dík patří celé CCD skupině!

Last FUUUUUUU

Sorry, ale proste jsem si nemohl pomoct…..

Red Meat a Fuuuuu-man